PENERAPAN INDUKSI MATEMATIK

PENERAPAN INDUKSI MATEMATIKA DALAM ATM MULTI PECAHAN UANG

a.       Konsep ATM Secara Umum di Indonesia

ATM, pada umumnya, hanya memiliki satu jenis nominal uang. Logikanya ialah sebuah ATM hanya memiliki satu cartridge uang, yang hanya dapat diisi oleh sebuah nominal (entah itu Rp 20.000,-, Rp 50.000,-, maupun Rp 100.000,-). Nah, pengolahan berapa jumlah uang yang dikeluarkan tidak secara langsung dihitung dari jumlah nominal uang yang ditarik, tapi dikonversikan dahulu, pecahan uang yang tersedia pada cartridge harus dikeluarkan sebanyak berapa lembar agar uang yang ingin ditarik pelanggan tercukupi4. Misal pelanggan ingin menarik uang sebanyak Rp 200.000,-. Maka ada tiga kemungkinan :

ü  Jika ATM tersebut berisi uang pecahan Rp 20.000,-, maka cartridge penyimpan uang akan diperintahkan menghitung dan mengeluarkan sebanyak 10 lembar.

ü  Jika ATM tersebut berisi uang pecahan Rp 50.000,-, maka cartridge penyimpanan uang akan diperintahkan menghitung dan mengeluarkan sebanyak 4 lembar.

ü  Jika ATM tersebut berisi uang pecahan Rp 100.000,-, maka cartridge penyimpanan uang akan diperintahkan untuk menghitung dan mengeluarkan uang sebanyak 2 lembar.

Terdapat beberapa kelemahan dalam ATM yang memiliki sistem seperti ini, antara lain : Pelanggan ingin menarik uang yang tidak genap (misal ingin menarik uang sebesar Rp 70.000,- ).

Pada kenyataannya, masalah ini memang sudah ditanggulangi dengan mengeluarkan pernyataan “Mesin ini hanya mengeluarkan uang dalam pecahan kelipatan Rp 20.000,- (atau Rp 50.000,- atau Rp 100.000,-). Masyarakat juga telah memaklumi keadaan ini. Namun, apakah tidak jauh lebih mudah jika dapat dilakukan penarikan tunai dengan nominal yang tidak genap seperti itu? Apa sebenarnya keistimewaan cara berpikir ATM Multi Pecahan Uang?

b.Penerapan Induksi Matematika dalam  ATM Multi Nominal

Penerapan Induksi Matematik dalam ATM Multi Nominal yakni dengan penggunaan Prinsip Induksi yang Dirampatkan (prinsip pertama) pada proses penghitungan uang yang akan dikeluarkan dari cartrige penyimpanan uang.

Ada beberapa ketentuan dalam pengambilan uang pada ATM Multi Nominal ini. Ketentuan tersebut antara lain :

ü  jumlah minimal penarikan

ü  jumlah kelipatan penarikan dari jumlah minimalnya

ü  pecahan uang berapa yang ada di ATM tersebut

Jadi, bagaimana cara perhitungannya?

Ambil sebuah contoh, dalam satu ATM terdapat pecahan uang Rp 20.000,- dan Rp 50.000,-. Berapakah jumlah kelipatan penarikan dengan jumlah minimal yang dapat diambil pelanggan melalui ATM tersebut adalah Rp 40.000,-?

Penyelesaian :

1.      tunjukkan bahwa f(n₀) benar (berlaku)

2.      Basis induksi : Untuk mengeluarkan uang dengan jumlah Rp 40.000,- dapat digunakan 2 lembar uang Rp 20.000,-. f(n₀) jelas benar (berlaku) !!

3.      Jika f(n) benar (berlaku) maka tunjukkan f(n+k) juga benar (berlaku) untuk semua bilangan bulat n ≥ n0. (k ialah kelipatan pengambilan uang di ATM)

Langkah induksi :  Jika f(n) benar, yaitu untuk mengeluarkan uang dengan jumlah Rp 40.000 dapat digunakan e lembar uang Rp 20.000,- (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa f(n+k) juga benar, yaitu untuk mengeluarkan uang sebesar n+k juga dapat menggunakan pecahan uang Rp 20.000,- dan/atau Rp 50.000,-.

Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa:

a. Kemungkinan pertama, misalkan tidak ada uang pecahan Rp 50.000,- yang dikeluarkan, maka uang yang dikeluarkan senilai Rp n,- menggunakan pecahan Rp 20.000,- semuanya. Karena n ≥ Rp 40.000,-, setidaknya harus digunakan dua lembar pecahan Rp 20.000,-. Dengan mengganti dua lembar uang Rp 20.000,- dengan selembar uang Rp 50.000, akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebesar Rp n+k,- dengan k senilai Rp 10.000,-.

b. Kemungkinan kedua, misalkan ATM mengeluarkan uang senilai Rp n,- dengan sedikitnya satu lembar pecahan Rp 50.000,-. Dengan mengganti satu lembar pecahan Rp 50.000,- dengan tiga lembar uang pecahan Rp 20.000,- akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebesar Rp n+k,- dengan k senilai Rp 10.000,-

Dari penjelasan di atas, dapat diketahui bahwa nilai k (kelipatan) uang yang dapat diambil dari ATM tersebut, dengan minimal jumlah pengambilan sebesar Rp 40.000,-, ialah sebesar Rp 10.000,-.